Equazioni

Equazioni di Secondo Grado

Un'equazione di secondo grado ha la forma generale:

ax² + bx + c = 0

dove a, b e c sono costanti e a≠0.

Equazioni Complete

Un'equazione completa include tutti i termini ax², bx e c.

La soluzione si trova usando la formula quadratica:

x= (-b ± √(b²-4ac))/2a

Equazioni Pure

Un'equazione pura è una forma semplificata in cui il termine lineare bx è assente:

ax² + c = 0

Per risolvere:

x² = -c/a

x = ±√(-c/a)

Equazioni Spurie

Un'equazione spuria è un'altra forma semplificata in cui il termine costante c è assente:

ax² + bx = 0

Per risolvere fattorizziamo raccogliendo una x:

x(ax+b) = 0

da cui x = 0 e x = -b/a

Discriminante

Il discriminante Δ (Delta) = b² - 4ac determina la natura delle radici:

• Se Δ > 0: Due radici reali e distinte.
• Se Δ = 0: Una radice reale coincidente.
• Se Δ < 0: Due radici complesse coniugate.

Metodo di Cartesio per il Segno delle Radici

Il metodo di Cartesio permette di determinare il segno delle radici analizzando i segni dei coefficienti a, b e c:

• Due Radici Positive: Se a > 0, b < 0 e c > 0.
• Due Radici Negative: Se a > 0, b > 0 e c > 0.
• Una Radice Positiva e Una Negativa: Negli altri casi.

Esempio Completo

Consideriamo l'equazione 2x² - 3x + 1 = 0:

1. Calcolo del Discriminante: Δ = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1. Poiché Δ > 0, l'equazione ha due radici reali e distinte.
2. Segno delle Radici:
   • a = 2 > 0
   • b = -3 < 0
   • c = 1 > 0

   Quindi, secondo il metodo di Cartesio, l'equazione ha due radici positive.

Equazioni Biquadratiche

Un'equazione biquadratica è un tipo di equazione polinomiale di quarto grado che ha la forma:

ax⁴ + bx² + c = 0

dove a, b e c sono costanti e a≠0.

Passaggi per Risolvere un'Equazione Biquadratica

1. Sostituzione: Introduciamo una nuova variabile y = x². Questo trasforma l'equazione biquadratica in un'equazione quadratica in y: y² + by + c = 0
2. Risoluzione dell'Equazione Quadratica: Risolvo l'equazione quadratica risultante per y utilizzando la formula quadratica: x = (-b ± √(b²-4ac))/2a
3. Ritorno alla Variabile Originale: Una volta trovati i valori di y, ricordiamoci che y = x². Quindi, risolvo per x: x² = y x = ± √(y)

Considerazioni sul Discriminante

Il discriminante Δ (Delta) = b² - 4ac determina la natura delle soluzioni dell'equazione quadratica in y:

• Discriminante Positivo (Δ > 0):
• L'equazione quadratica ha due soluzioni reali e distinte per y.
• Ogni soluzione y corrisponde a due soluzioni reali per x (una positiva e una negativa).
• Esempio: 2x⁴ - 3x² + 1 = 0
  Δ = (-3)² - 4 = 1
  y₁ = 1, y₂ = 1/2
  x = ±1, x = √(1/2) = √(2)/2

• Discriminante Zero (Δ = 0):
• L'equazione quadratica ha una soluzione reale doppia per y.
• Questa soluzione y corrisponde a due soluzioni reali per x (una positiva e una negativa).
• Esempio: x⁴ - 2x² + 1 = 0
  Δ = (-2)² - 4 = 0
  y = 1
  x = ±1

• Discriminante Negativo (Δ < 0):
• L'equazione quadratica ha due soluzioni complesse coniugate per y.
• Queste soluzioni y corrispondono a soluzioni complesse per x.
• Esempio: x⁴ + x² + 1 = 0
  Δ = 1² - 4 * 1 * 1 = -3
  y = (-1 ± √(-3))/2
  x = ± √((-1 ± √(-3))/2)

Metodo di Cartesio per il Segno delle Radici

Il metodo di Cartesio permette di determinare il segno delle radici analizzando i segni dei coefficienti a, b e c:

• Due Radici Positive: Se a > 0, b < 0 e c > 0.
• Due Radici Negative: Se a > 0, b > 0 e c > 0.
• Una Radice Positiva e Una Negativa: Negli altri casi.

Esempio Completo

Consideriamo l'equazione 2x⁴ - 3x² + 1 = 0:

1. Calcolo del Discriminante: Δ = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 1. Poiché Δ > 0, l'equazione ha due soluzioni reali e distinte per y.
2. Soluzioni per y:
   • y₁ = 1
   • y₂ = 1/2
3. Ritorno alla Variabile Originale:
   • x² = 1 → x = ±1
   • x² = 1/2 → x = ±√(2)/2

Quindi, le soluzioni dell'equazione biquadratica 2x⁴ - 3x² + 1 = 0 sono:

• x = ±1
• x = ±√(2)/2