Analisi dei Limiti

Definizione di Limite

Il limite di una funzione f(x) mentre x si avvicina a un valore c è il valore che f(x) tende a raggiungere quando x si avvicina sempre più a c. Formalmente, il limite di f(x) quando x tende a c è L, se per ogni ε > 0, esiste un δ > 0 tale che se 0 < |x - c| < δ, allora |f(x) - L| < ε.

Notazione

Il limite di f(x) quando x tende a c si scrive:

lim(x → c) f(x) = L

Limiti Laterali

Proprietà dei Limiti

Limiti Notevoli

Identità Trigonometriche da Usare nella Risoluzione di Limiti

Trucchi per Risolvere Limiti Dividendo per il Seno

Per risolvere limiti in cui compare il seno, possiamo dividere numeratore e denominatore per sin(x):

Trucchi per Risolvere Limiti Dividendo per il Coseno

Per risolvere limiti in cui compare il coseno, possiamo dividere numeratore e denominatore per cos(x):

Trucchi per Risolvere Limiti con le Funzioni Trigonometriche

Trucchi per Risolvere Limiti con le Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Esempio Pratico di a sin(x) + b cos(x) + c = 0

Per risolvere l'equazione a sin(x) + b cos(x) + c = 0, possiamo usare il metodo del cambiamento di variabili. La soluzione generale è:

  1. Isoliamo sin(x) e cos(x):
  2. Utilizziamo l'identità trigonometriche sin2(x) + cos2(x) = 1 per verificare la soluzione:

Quindi, la soluzione dell'equazione a sin(x) + b cos(x) + c = 0 è valida se b2 + c2 = a2.

Tutte le Varie Trasformazioni di 2 sin(x)

Tutte le Varie Trasformazioni di a sin(x) cos(x)

Risoluzione di lim(x → 0) (1 - 2x) / x3

  1. Espressione del limite:
  2. Analisi del numeratore e del denominatore:
  3. Determinazione del comportamento del limite:
  4. Conclusione:

Quindi, la soluzione del limite è:

lim(x → 0) (1 - 2x) / x3 = ∞

Risoluzione di lim(x → -∞) (x^3 - 4x) / (5x^6 - 1)

  1. Espressione del limite:
  2. Analisi del numeratore e del denominatore:
  3. Determinazione del comportamento del limite:
  4. Conclusione:

Quindi, la soluzione del limite è:

lim(x → -∞) (x3 - 4x) / (5x6 - 1) = 0

Risoluzione di lim(x → ∞) (1 + 1/2)^2

  1. Espressione del limite:
  2. Analisi dell'espressione:
  3. Conclusione:

Quindi, la soluzione del limite è:

lim(x → ∞) (1 + 1/2)^2 = 2.25

Esercizi di Limiti

Esercizi di Limiti

Esercizi con Funzioni con Radici

Esercizio 1

Calcolare il limite:

lim(x → 0) √x

Soluzione: Il limite è 0.

Esercizio 2

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) 1/√x

Soluzione: Il limite è 0.

Esercizio 3

Calcolare il limite:

lim(x → 0) √(x + 1)

Soluzione: Il limite è 1.

Esercizio 4

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) √(x2 + 1)/x

Soluzione: Il limite è 1.

Esercizio 5

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (√x - √(x + 1))

Soluzione: Il limite è -1/2.

Esercizio 6

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) (√(x2 + x) - x)

Soluzione: Il limite è 1/2.

Esercizio 7

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (√(x + 2) - √2)/x

Soluzione: Il limite è 1/(2√2).

Esercizio 8

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) (√(x2 + 2x) - x)

Soluzione: Il limite è 1.

Esercizio 9

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (√(x + 3) - √3)/x

Soluzione: Il limite è 1/(2√3).

Esercizio 10

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) (√(x2 + 3x) - x)

Soluzione: Il limite è 3/2.

Varie

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) 1/√n

Soluzione: Il limite è 0.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (-1)n

Soluzione: La successione non converge, quindi non ha limite.

Calcolare il limite:

lim(n → -∞) (-2n3 + n - 5)

Soluzione: Il limite è -∞.

Calcolare il limite:

lim(n → 0) n3 * 23n

Soluzione: Il limite è 0.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) -2n3

Soluzione: Il limite è -∞.

Calcolare il limite:

lim(n → 0) (7 + √[3]{n2 + 3n})

Soluzione: Il limite è 7.

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) (3 - 1/x + 4)/(2 + 5/x2 + 1)

Soluzione: Il limite è 7/3.

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (sin(3x)/x)

Soluzione: Usando il limite notevole, il risultato è 3.

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (cos(x) - 1 + x2/2)/x4

Soluzione: Usando l'approssimazione di Taylor, il risultato è 1/2.

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (cos(x) - 1 + x2/2)/x4

Soluzione: Usando l'approssimazione di Taylor, il risultato è 1/2.

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) 3/(n3 - n)

Soluzione: Il limite è 0.

Calcolare il limite:

lim(x → ∞) 1/(log1/2(1 + 1/n))

Soluzione: Il limite è 0.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) ((-1)n * (n + 5))/(3n2 + 1)

Soluzione: Il limite è 0.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (n2 + n sin(1/n2))/(1 + n + n2)

Soluzione: Il limite è 1.

Calcolare il limite:

lim(x → 0) (sin(ax)/sin(bx))

Soluzione: Il limite è a/b.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 1/n)

Soluzione: Il limite è 1.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 1/n)

Soluzione: Il limite è 1.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (2 - 1/n)

Soluzione: Il limite è 2.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (3 + 1/n)

Soluzione: Il limite è 3.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (4 - 1/n)

Soluzione: Il limite è 4.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (5 + 1/n)

Soluzione: Il limite è 5.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (6 - 1/n)

Soluzione: Il limite è 6.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (7 + 1/n)

Soluzione: Il limite è 7.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (8 - 1/n)

Soluzione: Il limite è 8.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (9 + 1/n)

Soluzione: Il limite è 9.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 1/n)n

Soluzione: Il limite è e.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 1/n)n

Soluzione: Il limite è 1/e.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 2/n)n

Soluzione: Il limite è e2.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 2/n)n

Soluzione: Il limite è 1/e2.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 1/n)2n

Soluzione: Il limite è e2.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 1/n)2n

Soluzione: Il limite è 1/e2.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 3/n)n

Soluzione: Il limite è e3.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 3/n)n

Soluzione: Il limite è 1/e3.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 1/(2n))2n

Soluzione: Il limite è e.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 1/(2n))2n

Soluzione: Il limite è 1/e.

Teorema dei Carabinieri (o Teorema del Confronto)

Il teorema dei carabinieri afferma che se una successione an è compresa tra due successioni bn e cn che convergono allo stesso limite L, allora anche an converge a L. Formalmente:

Se bn ≤ an ≤ cn per ogni n sufficientemente grande, e limn→∞ bn = limn→∞ cn = L, allora limn→∞ an = L.

Esempi:

Esempio 1: Se bn = 1/(n+1), an = 1/(n+2), e cn = 1/n, allora limn→∞ bn = limn→∞ cn = 0, quindi limn→∞ an = 0.

Esempio 2: Se bn = sin(1/n), an = 1/n, e cn = 1/(n-1), allora limn→∞ bn = limn→∞ cn = 0, quindi limn→∞ an = 0.

Esempio 3: Se bn = n/(n+1), an = n/(n+2), e cn = n/(n-1), allora limn→∞ bn = limn→∞ cn = 1, quindi limn→∞ an = 1.

Teorema del Confronto

Il teorema del confronto afferma che se una funzione f(x) è compresa tra due funzioni g(x) e h(x) che convergono allo stesso limite L quando x tende a c, allora anche f(x) converge a L. Formalmente:

Se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per ogni x sufficientemente vicino a c, e limx→c g(x) = limx→c h(x) = L, allora limx→c f(x) = L.

Esempi:

Esempio 1: Se g(x) = 2 - 1, f(x) = 2, e h(x) = 2 + 1, allora limx→1 g(x) = limx→1 h(x) = 0, quindi limx→1 f(x) = 0.

Esempio 2: Se g(x) = sin(x), f(x) = x, e h(x) = tan(x), allora limx→0 g(x) = limx→0 h(x) = 0, quindi limx→0 f(x) = 0.

Esempio 3: Se g(x) = 1/(x+1), f(x) = 1/x, e h(x) = 1/(x-1), allora limx→∞ g(x) = limx→∞ h(x) = 0, quindi limx→∞ f(x) = 0.

Teorema della Permanenza del Segno

Se una successione an è positiva e converge a un limite L, allora L è positivo. Formalmente:

Se an > 0 per ogni n sufficientemente grande, e limn→∞ an = L, allora L ≥ 0.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n, allora limn→∞ an = 0, quindi L = 0.

Esempio 2: Se an = (n+1)/n, allora limn→∞ an = 1, quindi L = 1.

Esempio 3: Se an = √n, allora limn→∞ an = ∞, quindi L = ∞.

Teorema della Somma

Se due successioni an e bn convergono rispettivamente ai limiti A e B, allora la loro somma converge alla somma dei limiti. Formalmente:

Se limn→∞ an = A e limn→∞ bn = B, allora limn→∞ (an + bn) = A + B.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n e bn = 1/n2, allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an + bn) = 0.

Esempio 2: Se an = 1/n e bn = 1/(n+1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an + bn) = 0.

Esempio 3: Se an = 1/n e bn = 1/(n-1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an + bn) = 0.

Teorema del Prodotto

Se due successioni an e bn convergono rispettivamente ai limiti A e B, allora il loro prodotto converge al prodotto dei limiti. Formalmente:

Se limn→∞ an = A e limn→∞ bn = B, allora limn→∞ (an ⋅ bn) = A ⋅ B.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n e bn = 1/n2, allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an ⋅ bn) = 0.

Esempio 2: Se an = 1/n e bn = 1/(n+1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an ⋅ bn) = 0.

Esempio 3: Se an = 1/n e bn = 1/(n-1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an ⋅ bn) = 0.

Teorema del Quoziente

Se due successioni an e bn convergono rispettivamente ai limiti A e B, e B ≠ 0, allora il loro quoziente converge al quoziente dei limiti. Formalmente:

Se limn→∞ an = A e limn→∞ bn = B con B ≠ 0, allora limn→∞ (an / bn) = A / B.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n e bn = 1/(n+1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an / bn) = 1.

Esempio 2: Se an = 1/n e bn = 1/(n-1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an / bn) = 1.

Esempio 3: Se an = 1/n e bn = 1/n2, allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an / bn) = ∞.

Teorema della Permanenza del Segno

Se una successione an è positiva e converge a un limite L, allora L è positivo. Formalmente:

Se an > 0 per ogni n sufficientemente grande, e limn→∞ an = L, allora L ≥ 0.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n, allora limn→∞ an = 0, quindi L = 0.

Esempio 2: Se an = (n+1)/n, allora limn→∞ an = 1, quindi L = 1.

Esempio 3: Se an = √n, allora limn→∞ an = ∞, quindi L = ∞.

Esercizi con Funzioni con Radici

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 + 1/(2n))2n

Soluzione: Il limite è e.

Calcolare il limite:

lim(n → ∞) (1 - 1/(2n))2n

Soluzione: Il limite è 1/e.

Teorema dei Carabinieri (o Teorema del Confronto)

Il teorema dei carabinieri afferma che se una successione an è compresa tra due successioni bn e cn che convergono allo stesso limite L, allora anche an converge a L. Formalmente:

Se bn ≤ an ≤ cn per ogni n sufficientemente grande, e limn→∞ bn = limn→∞ cn = L, allora limn→∞ an = L.

Esempi:

Esempio 1: Se bn = 1/(n+1), an = 1/(n+2), e cn = 1/n, allora limn→∞ bn = limn→∞ cn = 0, quindi limn→∞ an = 0.

Esempio 2: Se bn = sin(1/n), an = 1/n, e cn = 1/(n-1), allora limn→∞ bn = limn→∞ cn = 0, quindi limn→∞ an = 0.

Esempio 3: Se bn = n/(n+1), an = n/(n+2), e cn = n/(n-1), allora limn→∞ bn = limn→∞ cn = 1, quindi limn→∞ an = 1.

Teorema del Confronto

Il teorema del confronto afferma che se una funzione f(x) è compresa tra due funzioni g(x) e h(x) che convergono allo stesso limite L quando x tende a c, allora anche f(x) converge a L. Formalmente:

Se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per ogni x sufficientemente vicino a c, e limx→c g(x) = limx→c h(x) = L, allora limx→c f(x) = L.

Esempi:

Esempio 1: Se g(x) = 2 - 1, f(x) = 2, e h(x) = 2 + 1, allora limx→1 g(x) = limx→1 h(x) = 0, quindi limx→1 f(x) = 0.

Esempio 2: Se g(x) = sin(x), f(x) = x, e h(x) = tan(x), allora limx→0 g(x) = limx→0 h(x) = 0, quindi limx→0 f(x) = 0.

Esempio 3: Se g(x) = 1/(x+1), f(x) = 1/x, e h(x) = 1/(x-1), allora limx→∞ g(x) = limx→∞ h(x) = 0, quindi limx→∞ f(x) = 0.

Teorema della Permanenza del Segno

Se una successione an è positiva e converge a un limite L, allora L è positivo. Formalmente:

Se an > 0 per ogni n sufficientemente grande, e limn→∞ an = L, allora L ≥ 0.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n, allora limn→∞ an = 0, quindi L = 0.

Esempio 2: Se an = (n+1)/n, allora limn→∞ an = 1, quindi L = 1.

Esempio 3: Se an = √n, allora limn→∞ an = ∞, quindi L = ∞.

Teorema della Somma

Se due successioni an e bn convergono rispettivamente ai limiti A e B, allora la loro somma converge alla somma dei limiti. Formalmente:

Se limn→∞ an = A e limn→∞ bn = B, allora limn→∞ (an + bn) = A + B.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n e bn = 1/n2, allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an + bn) = 0.

Esempio 2: Se an = 1/n e bn = 1/(n+1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an + bn) = 0.

Esempio 3: Se an = 1/n e bn = 1/(n-1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an + bn) = 0.

Teorema del Prodotto

Se due successioni an e bn convergono rispettivamente ai limiti A e B, allora il loro prodotto converge al prodotto dei limiti. Formalmente:

Se limn→∞ an = A e limn→∞ bn = B, allora limn→∞ (an ⋅ bn) = A ⋅ B.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n e bn = 1/n2, allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an ⋅ bn) = 0.

Esempio 2: Se an = 1/n e bn = 1/(n+1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an ⋅ bn) = 0.

Esempio 3: Se an = 1/n e bn = 1/(n-1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an ⋅ bn) = 0.

Teorema del Quoziente

Se due successioni an e bn convergono rispettivamente ai limiti A e B, e B ≠ 0, allora il loro quoziente converge al quoziente dei limiti. Formalmente:

Se limn→∞ an = A e limn→∞ bn = B con B ≠ 0, allora limn→∞ (an / bn) = A / B.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n e bn = 1/(n+1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an / bn) = 1.

Esempio 2: Se an = 1/n e bn = 1/(n-1), allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an / bn) = 1.

Esempio 3: Se an = 1/n e bn = 1/n2, allora limn→∞ an = 0 e limn→∞ bn = 0, quindi limn→∞ (an / bn) = ∞.

Teorema della Permanenza del Segno

Se una successione an è positiva e converge a un limite L, allora L è positivo. Formalmente:

Se an > 0 per ogni n sufficientemente grande, e limn→∞ an = L, allora L ≥ 0.

Esempi:

Esempio 1: Se an = 1/n, allora limn→∞ an = 0, quindi L = 0.

Esempio 2: Se an = (n+1)/n, allora limn→∞ an = 1, quindi L = 1.

Esempio 3: Se an = √n, allora limn→∞ an = ∞, quindi L = ∞.

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